Dr. rer. nat.

Graphische Darstellung

MathTool ist in der Lage Graphen, Kurven und Flächen graphisch darzustellen. Im Abschnitt Befehle werden alle Befehle vorgestellt, mit denen solche Objekte visualisiert werden können. Hier gehen wir etwas ausführlicher auf die graphische Darstellung ein. Im Folgenden sind x, y beliebige verschiedene zulässige Variablen (der Benutzer darf stattdessen auch u, v, a_25 etc. benutzen).

Graphische Darstellung ebener Graphen: Mit MathTool können beliebig viele Graphen von Funktionen in einer Veränderlichen graphisch dargestellt werden. Mit dem Befehl plot2d(F1(x), …, Fn(x), x, x1, x2) werden die Graphen der Funktionen F1, …, Fn im selben Koordinatensystem im Bereich x1 <= x <= x2 dargestellt. Dabei sind die Achsen nicht unbedingt gleich geeicht. Technisch gesehen wird der y-Bereich derart gewählt, dass das Maximum und das Minimum aller Funktionen F1, …, Fn hineinpassen. In manchen Fällen kann es vorkommen, dass die Graphen sehr „verzerrt“ aussehen. Trotzdem kann man die Achsen auf beliebige Art und Weise verzerren/entzerren und verschieben:

    • Linke Maustaste gedrückt halten: Koordinatensystem verschieben.
    • Rechte Maustaste gedrückt halten: beide Achsen zerren.
    • Mausrad bewegen: hinein- oder herauszoomen (der Zoomfaktor ist nahezu beliebig groß oder klein).

Derselbe Hinweis findet sich in der Legende unter dem Graphenfenster. Beispielsweise erzeugt der Befehl plot2d(x^2-x+3, exp(x), 5*sin(4*x), x, -2, 2) die folgende Grafik:

plot2dexample_2

Graphische Darstellung impliziter ebener Gleichungen: MathTool kann die Lösungsmenge einer Gleichung F(x, y) = G(x, y) in zwei Veränderlichen graphisch darstellen. Mit dem Befehl plotimplicit(F(x, y) = G(x, y), x, y, x1, x2, y1, y2) wird die Lösungsmenge dieser Gleichung im Bereich x1 <= x <= x2, y1 <= y <= y2 dargestellt. Auch hier gilt aufgrund der Bereichswahl, dass die Achsen dann nicht unbedingt gleich geeicht sind. Bei der Darstellung implizit gegebener Funktionen kann das Koordinatensystem weder verschoben, noch gezerrt oder vergrößert/verkleinert werden. Beispielsweise erzeugt der Befehl plotimplicit(y^2=x^3-x+1,x,y,-2,2,-2,2) die folgende Grafik (welche eine elliptische Kurve darstellt):

plot2dimplicitexample

Graphische Darstellung räumlicher Graphen: Mit MathTool können beliebig viele Graphen von Funktionen in zwei Veränderlichen graphisch dargestellt werden. Mit dem Befehl plot3d(F1(x, y), …, Fn(x, y), x, y, x1, x2, y1, y2) werden die Graphen der Funktionen F1, …, Fn im räumlichen Koordinatensystem im Bereich x1 <= x <= x2, y1 <= y <= y2 dargestellt. Dabei sind die Achsen nicht unbedingt gleich geeicht. Technisch gesehen wird der z-Bereich derart gewählt, dass das Maximum und das Minimum der Funktionen F1, …, Fn hineinpassen. In manchen Fällen kann es vorkommen, dass der Graph sehr „verzerrt“ aussehen. Zwar hat man den Graphen, sobald einmal gezeichnet, nicht weiter verzerren/entzerren, aber folgende Funktionen stehen dem Benutzer zur Verfügung:

    • Linke Maustaste gedrückt halten: Koordinatensystem horizontal rotieren.
    • Rechte Maustaste gedrückt halten: Koordinatensystem vertikal rotieren.
    • Mausrad bewegen: hinein- oder herauszoomen (der Zoomfaktor liegt zwischen 0.1 und 10).

Derselbe Hinweis findet sich in der Legende unter dem Graphenfenster. Beispielsweise erzeugt der Befehl plot3d(exp(-x^2-y^2)*sin(6*(x^2+y^2)^(1/2)),x,y,-1,1,-1,1) die folgende Grafik:

plot3dexample

Graphische Darstellung räumlicher Graphen in Zylinder- und Kugelkoordinaten: MathTool kann ebenso beliebig viele Graphen von Funktionen F1, …, Fn in zwei Veränderlichen in Zylinder- bzw. in Kugelkoordinaten darstellen. Die entsprechenden Befehle hierfür sind plotcylindrical(F1(r, t), …, Fn(r, t), r, t, r1, r2, t1, t2) bzw. plotspherical(F1(s, t), …, Fn(s, t), s, t, s1, s2, t1, t2). Beim Befehl plotcylindrical werden die Graphen in zylindrischen Koordinaten gezeichnet, wobei r der Radius und t der Winkel ist. Aus technischen Gründen darf die Differenz t2 – t1 den Wert 20 · π, also zehn ganze Umläufe, nicht übersteigen. Beim Befehl plotspherical werden die Graphen in Kugelkoordinaten gezeichnet, wobei s der Winkel in der x,y-Ebene ist, der von der x-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird und t der Winkel zur z-Achse ist. Aus technischen Gründen dürfen die Differenzen s2 – s1 und t2 – t1 den Wert 20 · π, also zehn ganze Umläufe, nicht übersteigen. Die Befehle plotcylindrical(t+sin(5*t), r, t, 0, 1, 0, 4*pi) und plotspherical(2, s, t, 0, 2*pi, 0, pi) liefern beispielsweise die folgenden Grafiken:

plotcylindricalexample  plotsphericalexample

Graphische Darstellung ebener Kurven: Mit MathTool können ebene Kurven dargestellt werden, welche durch einen Parameter t parametrisiert werden. Mit dem Befehl plotcurve2d([F1(t); F2(t)], t, t1, t2) wird der Graph einer ebenen Kurve, welche durch x = F1(t), y = F2(t), t1 <= t <= t2, parametrisiert wird, dargestellt. Bezüglich der Darstellung und der Achsenwahl gelten ähnliche Kriterien wie für die Darstellung ebener Graphen. In manchen Fällen kann es vorkommen, dass die Kurve nicht komplett gezeichnet wird (sondern nur in einem gewissen Bereich t1 <= t <= t‘ mit t‘ <= t2), beispielsweise wenn die Parametrisierung „zu schlecht“ gewählt ist. Man kann die Achsen auf beliebige Art und Weise verzerren/entzerren und verschieben:

    • Linke Maustaste gedrückt halten: Koordinatensystem verschieben.
    • Rechte Maustaste gedrückt halten: beide Achsen zerren.
    • Mausrad bewegen: hinein- oder herauszoomen (der Zoomfaktor liegt zwischen 0.1 und 10).

Derselbe Hinweis findet sich in der Legende unter dem Graphenfenster. Beispielsweise erzeugt der Befehl plotcurve2d([t-sin(t); 1-cos(t)); ],t,0, 4*pi) die folgende Grafik (sog. Zykloide):

plotcurve2dexample

Graphische Darstellung räumlicher Kurven: MathTool kann Kurven darstellen, welche durch einen Parameter t parametrisiert werden. Mit dem Befehl plotcurve3d([F1(t); F2(t); F3(t)], t, t1, t2) wird der Graph einer räumlichen Kurve, welche durch x = F1(t), y = F2(t), z = F3(t)), t1 <= t <= t2, parametrisiert wird, dargestellt. Bezüglich der Darstellung und der Achsenwahl gelten ähnliche Kriterien wie für die Darstellung ebener Kurven. Hier stehen dem Benutzer, ähnlich wie im Fall von Funktionen von zwei Veränderlichen, folgende Funktionen zur Verfügung:

    • Linke Maustaste gedrückt halten: Koordinatensystem horizontal rotieren.
    • Rechte Maustaste gedrückt halten: Koordinatensystem vertikal rotieren.
    • Mausrad bewegen: hinein- oder herauszoomen (der Zoomfaktor liegt zwischen 0.1 und 10).

Derselbe Hinweis findet sich in der Legende unter dem Graphenfenster. Beispielsweise erzeugt der Befehl plotcurve3d([cos(t); sin(t); t],t,0,6*pi) die folgende Grafik (sog. Helix oder Schraubenlinie):

plotcurve3dexample

Graphische Darstellung von Graphen in Polarkoordinaten: Mit MathTool können beliebig viele Graphen von Funktionen, welche in Polarkoordinaten gegeben sind, graphisch dargestellt werden. Mit dem Befehl plotpolar(F1(t), …, Fn(t), t, t1, t2) werden die Graphen der Funktionen F1, …, Fn im selben Koordinatensystem dargestellt. Hierbei gibt t den Winkel und Fi(t) den Radius der i-ten Kurve an. Der Parameter t bewegt sich im Bereich t1 <= t <= t2. Die Achsen sich auch hier nicht unbedingt gleich geeicht. Technisch gesehen wird der x- und y-Bereich derart gewählt, dass die Graphen aller Funktionen F1, …, Fn hineinpassen. In manchen Fällen kann es vorkommen, dass die Graphen sehr „verzerrt“ aussehen. Trotzdem kann man die Achsen auf beliebige Art und Weise verzerren/entzerren und verschieben:

    • Linke Maustaste gedrückt halten: Koordinatensystem verschieben.
    • Rechte Maustaste gedrückt halten: beide Achsen zerren.
    • Mausrad bewegen: hinein- oder herauszoomen (der Zoomfaktor liegt zwischen 0.1 und 10).

Derselbe Hinweis findet sich in der Legende unter dem Graphenfenster. Beispielsweise erzeugt der Befehl plotpolar(5*(1+cos(t)),t,0,2*pi) die folgende Grafik (sog. Kardioide):

plotpolarexample

Graphische Darstellung ebener Vektorfelder: MathTool kann ebene Vektorfelder darstellen. Mit dem Befehl plotvectorfield2d([F1(x, y); F2(x, y)], x, y, x1, x2, y1, y2) wird das Vektorfeld, welches durch v(x, y) = [F1(x, y), F2(x, y)] für x1 <= x <= x2 und y1 <= y <= y2 gegeben ist, dargestellt. Man kann die Achsen auf beliebige Art und Weise verzerren/entzerren und verschieben:

    • Linke Maustaste gedrückt halten: Koordinatensystem verschieben.
    • Rechte Maustaste gedrückt halten: beide Achsen zerren.
    • Mausrad bewegen: hinein- oder herauszoomen (der Zoomfaktor ist nahezu beliebig groß oder klein).

Derselbe Hinweis findet sich in der Legende unter dem Graphenfenster. Beispielsweise erzeugt der Befehl plotvectorfield2d([sin((x^2+y^2)^(1/2));cos((x^2+y^2)^(1/2))],x,y,-4,4,-4,4) die folgende Grafik:

plotvectorfield2dexample