Dr. rer. nat.

Mathematische Operatoren

MathTool kennt die folgenden Operatoren:

diff(F(x1, …, xn), xi): Berechnet die partielle Ableitung ∂F/∂xi der Funktion F nach der Variablen xi.

diff(F(x1, …, xn), xi, k): Berechnet die k-te partielle Ableitung ∂kF/∂xik der Funktion F nach der Variablen xi.

diff(F(x1, …, xn), xi, …, xj): Berechnet die iterierte partielle Ableitung ∂(… ∂F/∂xi …)/∂xj der Funktion F nach den Variablen xi, …, xj. Die Variablen xi, …, xj müssen nicht alle verschieden sein.

div(F(x1, …, xn)): Berechnet die Divergenz div(F) = ∂F/∂x1 + ··· + ∂F/∂xn der Funktion F.

fac(n) oder n!: Berechnet die Fakultät der Zahl n. Für nichtnegative ganze Zahlen n liefert es die gewöhnliche Fakultät n! = 1·2· ··· ·n. Fakultäten negativer ganzer Zahlen liefern einen Fehler und Fakultäten von nicht-ganzen Zahlen werden im Approximationsmodus durch den Wert der Gammafunktion Γ(n + 1) approximiert. Fakultäten ganzer Zahlen werden nur bis n <= 10000 ausgeschrieben.

Beispiel: Der Ausdruck 5! erzeugt die Ausgabe

120,

während der Ausdruck approx(0.5!) zu

0.8862266958197873

vereinfacht wird.

gcd(n1, …, nk): Berechnet den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen n1, …, nk.

int(F(x, a1, …, an), x): Berechnet das unbestimmte Integral ∫ F(x, a1, …, an) dx von der Funktion F(x, a1, …, an) bezüglich x.

int(F(x, a1, …, an), x, , a, b): Berechnet das bestimmte Integral ∫abF(x, a1, …, an) dx von der Funktion F(x, a1, …, an) von a bis b bezüglich x. Sowohl die Funktion F als auch die Grenzen a und b dürfen weitere Parameter enthalten.

laplace(F(x1, …, xn)): Berechnet den Laplace-Operator ΔF = ∂2F/∂x12 + ··· + ∂2F/∂xn2 der Funktion F.

lcm(n1, …, nk): Berechnet das kleinste gemeinsame Vielfache der ganzen Zahlen n1, …, nk.

max(x1, …, xn): Berechnet das Maximum der Werte x1, …, xn.

min(x1, …, xn): Berechnet das Minimum der Werte x1, …, xn.

mod(a, b): Sind a und b ganze Zahlen, so berechnet es den Divisionsrest r bei ganzzahliger Division von a durch b.

Beispiel: mod(25, 7) erzeugt die Ausgabe

4.

mu(x1, …, xn): Berechnet das arithmetische Mittel der Werte x1, …, xn.

prod(F(k, x1, …, xn), k, k1, k2): Berechnet das Produkt F(k1, x1, …, xn)·F(k1 + 1, x1, …, xn)· ··· ·F(k2, x1, …, xn). Falls k1 > k2 ist, so ist das Ergebnis 1. Falls k1 oder k2 keine oder zu große ganze Zahlen sind, so wird das Produkt nicht explizit ausgeschrieben.

sigma(x1, …, xn): Berechnet die Standardabweichung der Werte x1, …, xn.

sum(F(k, x1, …, xn), k, k1, k2): Berechnet die Summe F(k1, x1, …, xn) + F(k1 + 1, x1, …, xn) + ··· + F(k2, x1, …, xn). Falls k1 > k2 ist, so ist das Ergebnis 0. Falls k1 oder k2 keine oder zu große ganze Zahlen sind, so wird die Summe nicht explizit ausgeschrieben.

Dass sowohl im Operator prod() als auch im Operator sum() variable Grenzen stehen dürfen, erlaubt es einem natürlich auch verschachtelte Summen/Produkte zu bilden:

Beispiel: Die Eingabe der Doppelsumme

sum(sum(i*j, j, 1, i), i, 1, 3)

erzeugt die Ausgabe

25.

 

taylor(F(x, y1, …, yn), x, x0, k): Berechnet das Taylorpolynom k-ten Grades von der Funktion F(x, y1, …, yn) bezüglich der Variablen x an der Stelle x = x0.

Operatoren können wiederum in weiteren mathematischen Ausdrücken vorkommen und somit weiterverarbeitet werden.

Beispiel: Der Ausdruck

x^2*diff(y^5,y,3) + 6

erzeugt die Ausgabe

60*x^2*y^2+6.

var(x1, …, xn): Berechnet die Varianz der Werte x1, …, xn.