Dr. rer. nat.

Über die Mathematik – und wie sie die Welt verändert.

Die Mathematik (griechisch μαθηματική τέχνη mathēmatikē téchnē ‚die Kunst des Lernens‘, ‚zum Lernen gehörig‘) ist eine Wissenschaft, welche aus der Untersuchung von geometrischen Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstand. Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition; heute wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft beschrieben, die durch logische Definitionen selbstgeschaffene abstrakte Strukturen mittels der Logik auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht.

Die Geschichte der Mathematik im Überblick:

Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften. Ihre erste Blüte erlebte sie noch vor der Antike in Mesopotamien, Indien und China. Später in der Antike in Griechenland und im Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt.

In der frühen Neuzeit führte François Viète Variablen ein und René Descartes eröffnete durch die Verwendung von Koordinaten einen rechnerischen Zugang zur Geometrie. Die Beschreibung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten („Quadratur“) führte zur Infinitesimalrechnung von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton. Beide entwickelten damals die Infinitesimalrechnung unabhängig voneinander und nahezu zur selben Zeit, was zu einem gerühmten Prioritätenstreit zwischen Newton und Leibniz führte. Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungweisender mathematischer Probleme wie das des Dreikörperproblems.

Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen zunehmend komplizierter werdender algebraischer Gleichungen. Zu seiner Behandlung entwickelten Niels Henrik Abel und Évariste Galois den Begriff der Gruppe, der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt. Abel und Galois konnten erstmals zeigen, dass man die Lösungen gewisser algebraischer Gleichungen nicht durch exakte algebraische Operationen beschreiben kann. Dies lieferte dann eine endgültige (negative) Antwort auf die Frage, ob man jede polynomielle Gleichung mit Hilfe der vier Grundrechenarten und Radikalen (= Wurzeln) lösen kann. Die von Galois entwickelten Begriffe und Methoden, die sogenannte Galois-Theorie, bildet einen wesentlichen Bestandteil des Fundaments der modernen Algebra. Als weitere Vertiefung dieser Untersuchungen kann die algebraische Geometrie angesehen werden.

Eine damals neue Idee im Briefwechsel zwischen Blaise Pascal und Pierre de Fermat im Jahr 1654 führte zur Lösung eines alten Problems, für das es schon andere, allerdings umstrittene Lösungsvorschläge gab. Der Briefwechsel wird als Geburt der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung angesehen. Die neuen Ideen und Verfahren erobern viele Bereiche. Aber über Jahrhunderte hinweg kommt es zur Aufspaltung der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie in separate Schulen. Versuche, den Begriff „Wahrscheinlichkeit“ explizit zu definieren, gelingen nur für Spezialfälle. Erst das Erscheinen von Andrei Kolmogorows Lehrbuch Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Jahr 1933 schließt die Entwicklung der Fundamente moderner Wahrscheinlichkeitstheorie ab.

Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand die Infinitesimalrechnung durch die Arbeiten von Augustin-Louis Cauchy und Karl Weierstraß ihre heutige strenge Form. Die von Georg Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Mengenlehre ist aus der heutigen Mathematik ebenfalls nicht mehr wegzudenken, auch wenn sie durch die Paradoxien des naiven Mengenbegriffs zunächst deutlich machte, auf welch unsicherem Fundament die Mathematik vorher stand.

Die Entwicklung der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts stand unter dem Einfluss von David Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen. Eines der Probleme war der Versuch einer vollständigen Axiomatisierung der Mathematik; gleichzeitig gab es starke Bemühungen zur Abstraktion, also des Versuches, Objekte auf ihre wesentlichen Eigenschaften zu reduzieren. So entwickelte Emmy Noether die Grundlagen der modernen Algebra, Felix Hausdorff die allgemeine Topologie als die Untersuchung topologischer Räume, Stefan Banach den wohl wichtigsten Begriff der Funktionalanalysis, den nach ihm benannten Banachraum. Eine noch höhere Abstraktionsebene, einen gemeinsamen Rahmen für die Betrachtung ähnlicher Konstruktionen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, schuf schließlich die Einführung der Kategorientheorie durch Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane.

Einen differenzierteren Überblick über die Entwicklungen der Mathematik und ihre Bedeutungen findet ihr hier:

Folgende Aphorismen bekannter Persönlichkeiten beschreiben die Mathematik sehr treffend:

  • Albert Einstein: Die Mathematik handelt ausschließlich von den Beziehungen der Begriffe zueinander ohne Rücksicht auf deren Bezug zur Erfahrung.
  • Galileo Galilei: Mathematik ist das Alphabet, mit dessen Hilfe Gott das Universum beschrieben hat.
  • Godfrey Harold Hardy: Der Mathematiker ist ein Hersteller von Schemata.
  • Johann Wolfgang von Goethe: Die Mathematiker sind eine Art Franzosen: Redet man zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache, und dann ist es alsobald ganz etwas anderes.
  • Novalis: Die ganze Mathematik ist eigentlich eine Gleichung im Großen für die anderen Wissenschaften.
  • Friedrich Nietzsche: Wir wollen die Feinheit und Strenge der Mathematik in alle Wissenschaften hineintreiben, soweit dies nur irgend möglich ist; nicht im Glauben, daß wir auf diesem Wege die Dinge erkennen werden, sondern um damit unsere menschliche Relation zu den Dingen festzustellen. Die Mathematik ist nur das Mittel der allgemeinen und letzten Menschenkenntnis.
  • Bertrand Russell: Mathematik ist die Wissenschaft, bei der man nicht weiß, wovon man spricht, noch ob das, was man sagt, wahr ist.
  • Friedrich Schlegel: Die Mathematik ist gleichsam eine sinnliche Logik, sie verhält sich zur Philosophie wie die materiellen Künste, Musik und Plastik, zur Poesie.
  • James Joseph Sylvester: Mathematik ist die Musik der Vernunft.
  • Ludwig Wittgenstein: Die Mathematik ist eine Methode der Logik.