Dr. rer. nat.

Die schönsten und erstaunlichsten Resultate

Selbstverständlich ist es eine sehr subjektive Frage, welche Resultate und Phänomene am schönsten oder erstaunlichsten sind. Dennoch möchte ich hier einige Theoreme auflisten, welche in meinen Augen besonders elegant sind oder beispielsweise der natürlichen menschlichen Intuition widersprechen.

Das Brachistochrone-Problem: Die Brachistochrone (gr. brachistos kürzeste, chronos Zeit) ist eine reibungsfreie Bahn zwischen einem Anfangs- und einem gleich hoch oder tiefer gelegenen Endpunkt, auf der ein Massenpunkt unter dem Einfluss der Gravitationskraft am schnellsten zum Endpunkt gleitet. Der Tiefpunkt der Bahn kann tiefer liegen als der Endpunkt. Der Körper gleitet auf einer solchen Bahn schneller zum Ziel als beispielsweise auf einer geradlinigen Bahn, obwohl diese kürzer ist.

Brachistochrone

Gleichzeitig ist diese Kurve eine Tautochrone, d. h. von jedem Punkt der Kurve benötigt man die gleiche Zeit, um zum Tiefpunkt zu gelangen. Die Mathematische Beschreibung der Brachistochrone ist relativ einfach: die Brachistochrone ist Teil der sogenannten Zykloide. Die Zykloide entsteht, wenn man an ein Rad einen Bleistift anbringt und das Rad dann entlang einer ebenen Bahn rollen lässt. Die von der Bleistiftspitze gezogene Bahn ist dann die Zykloide:

ZykloideAnimation

Ist a der Radius des Rades und befindet sich die Bleistiftspitze zu Beginn im Ursprung, so lässt sich die so entstandene Kurve in Abhängigkeit vom Winkel t wie folgt parametrisieren:

x(t) = a·(t – sin(t)), y(t) = a·(1 – cos(t)).

Johann Bernoulli hat sich mit dem Problem des schnellsten Falles beschäftigt. Im Jahre 1696 fand er schließlich die Lösung in der Brachistochrone. Heute sieht man dies oft als die Geburtsstunde der Variationsrechnung

 

Das Paradoxon von Banach-Tarski: Das Banach-Tarski-Paradoxon oder auch Satz von Banach und Tarski ist eine Aussage der Mathematik, die demonstriert, dass sich der anschauliche Volumenbegriff nicht auf beliebige Punktmengen verallgemeinern lässt. Danach kann man eine Kugel in drei oder mehr Dimensionen derart zerlegen, dass sich ihre Teile wieder zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen lassen, von denen jede denselben Durchmesser hat wie die ursprüngliche. Das Volumen verdoppelt sich, ohne dass anschaulich ersichtlich ist, wie durch diesen Vorgang Volumen aus dem Nichts entstehen können sollte. Dieses Paradoxon demonstriert, dass das mathematische Modell des Raumes als Punktmenge in der Mathematik Aspekte hat, die sich in der physischen Realität nicht wiederfinden.

Eine formale Erklärung für dieses Phänomen findet man in der Maßtheorie. Die Kugel wird in dermaßen komplizierte Stücke unterteilt, dass diese nicht messbar sind, d.h. man kann diesen auf keine vernünftige Art und Weise ein Volumen (Inhalt) zuordnen. Genauer ist es ist unmöglich, auf der Menge aller Teilmengen des dreidimensionalen Raumes \R^3 einen bewegungsinvarianten Inhalt zu definieren, der Kugeln ein Volumen ungleich null oder unendlich zuordnet. Ein Inhalt ist eine Funktion, die jeder Menge aus einem vorgegebenen Bereich von Mengen eine positive reelle Zahl oder unendlich zuordnet, Volumen der Menge genannt, sodass insbesondere das Volumen der Vereinigung zweier sich nicht überschneidender Mengen gleich der Summe der Volumina der einzelnen Mengen ist. Ein Inhalt ist bewegungsinvariant, wenn sich das Volumen einer Menge bei Drehungen, Verschiebungen und Spiegelungen nicht verändert. Jeder mathematische Volumenbegriff, der ein bewegungsinvarianter Inhalt oder gar ein bewegungsinvariantes Maß sein soll, muss daher so eingeschränkt werden, dass er für bestimmte Mengen, wie diese Mengen, in die sich die Kugel zerlegen lässt, nicht definiert ist.

Gödelsche Unvollständigkeitssätze: Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz ist einer der wichtigsten Sätze der modernen Logik. Er beschäftigt sich mit der Ableitbarkeit von Aussagen in formalen Systemen. Der Satz zeigt die Grenzen der formalen Systeme ab einer bestimmten Leistungsfähigkeit auf. Er weist nach, dass es in hinreichend starken Systemen, wie der Arithmetik, Aussagen geben muss, die man weder formal beweisen noch widerlegen kann. Der Satz beweist damit die Unmöglichkeit des Hilbertprogramms, welches von David Hilbert unter anderem begründet wurde, um die Widerspruchsfreiheit der Mathematik zu beweisen. Der Satz wurde 1931 vom österreichischen Mathematiker Kurt Gödel veröffentlicht.

Genauer werden zwei Unvollständigkeitssätze unterschieden. Der Erste Unvollständigkeitssatz besagt, dass es in hinreichend starken widerspruchsfreien Systemen immer unbeweisbare Aussagen gibt. Der Zweite Unvollständigkeitssatz besagt, dass hinreichend starke widerspruchsfreie Systeme ihre eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen können.

Ein bekanntes Beispiel für eine Aussage, die auf der Grundlage unseres Axiomensystems in der Mengenlehre (genauer dem Zermelo-Fraenkel-Axiomensystem zusammen mit dem Auswahlaxiom) weder bewiesen noch widerlegt werden kann, ist die sogenannte Kontinuumshypothese, welche im Folgenden erläutert wird. Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn man eine eins-zu-eins Beziehung zwischen ihren Elementen herstellen kann (d.h. sie enthalten dann „gleich viele“ Elemente, ungeachtet der Tatsache, ob die beiden Mengen endlich sind oder nicht). Die natürlichen Zahlen IN haben die Eigenschaft, dass sie abzählbar sind, d.h. sie können abgezählt bzw. in einer (unendlich langen) Liste aufgelistet werden. Die reellen Zahlen IR dagegen sind es nicht. Die Frage, ob es eine Menge M gibt, die mächtiger ist als IN, aber weniger mächtig ist als IR, ist unentscheidbar. Dies ist die sogenannte einfache Kontinuumshypothese. Es gibt eine verallgemeinerte Version von dieser, die sogenannte verallgemeinerte Kontinuumshypothese, welche ebenso unentscheidbar ist.