Dr. rer. nat.

Große ungelöste Probleme

In der Mathematik gibt es eine sehr lange Liste offener Probleme, d. h. solcher Probleme, bei denen die Lösung entweder gänzlich unbekannt ist oder vermutet wird. Die größten unter Ihnen sind in der Regel recht einfach zu verstehen, sogar für einen Laien. Nichtsdestotrotz widersetzen sie sich sämtlichen Lösungsversuchen und haben bereits viele große Geister zur Verzweiflung getrieben.

Die Riemannsche Vermutung: Die Zetafunktion ς(s) ist definiert als ζ(s) = ∑k = 1 1/ks für komplexes s mit Realteil > 1. Diese Funktion lässt sich analytisch auf die komplexe Ebene mit Ausnahme der 1 fortsetzen (in s = 1 besitzt sie einen Pol). Es ist nicht schwer zu zeigen, dass -2, -4, -6, … allesamt Nullstellen (triviale Nullstellen) der Zetafunktion sind. Dennoch besitzt ζ noch weitere Nullstellen. Es lässt sich leicht zeigen, dass alle weiteren Nullstellen sich in dem Streifen 0 ≤ Re(s) ≤ 1 befinden müssen. Die bislang berechneten nichttrivialen Nullstellen der Zetafunktion liegen alle auf der Geraden mit Realteil 1/2. Die Riemannsche Vermutung besagt, dass jede nichttriviale Nullstelle der Zetafunktion auf dieser Geraden liegt. Mit Hilfe von Computern wurde die Riemannsche Vermutung für Millionen von nichttrivialen Nullstellen rechnerisch verifiziert. Ein Beweis für die Riemannsche Vermutung steht aber bislang noch aus. Die Riemannsche Vermutung gehört zu den sogenannten Millennium-Problemen, auf deren Lösung hohe Preisgelder ausgesetzt sind.

Die Goldbach-Vermutung: Die Goldbach-Vermutung ist eine alte Vermutung aus der Zahlentheorie. Sie gehört als eines der Hilbertschen Probleme zu den bekanntesten ungelösten Problemen der Mathematik. Die starke Goldbach-Vermutung besagt, dass sich jede gerade Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen darstellen lässt. Die schwächere Version dieser Vermutung, die sog. schwache Goldbach-Vermutung besagt, dass sich jede ungerade Zahl größer als 5 als Summe dreier Primzahlen darstellen lässt. Die schwache Goldbach-Vermutung folgt sehr leicht aus der starken Goldbach-Vermutung. Obwohl die Goldbach-Vermutung noch lange nicht bewiesen ist, so gibt es dennoch gewisse Fortschritte in dieser Richtung:

  • 1920 bewies Viggo Brun, dass jede genügend große gerade Zahl als Summe zweier Zahlen mit maximal neun Primfaktoren darstellbar ist.
  • 1937 bewies Iwan Matwejewitsch Winogradow, dass jede ungerade Zahl, die größer als eine bestimmte Konstante ist, als Summe dreier Primzahlen geschrieben werden kann (Satz von Winogradow; schwache Goldbachsche Vermutung für den Fall genügend großer Zahlen).
  • 1937 bewies Nikolai Grigorjewitsch Tschudakow, dass „fast alle“ geraden Zahlen als Summe zweier Primzahlen darstellbar sind, das heißt, dass die asymptotische Dichte der so darstellbaren Zahlen in den geraden Zahlen 1 ist.
  • 1947 bewies Alfréd Rényi, dass eine Konstante K derart existiert, dass jede gerade Zahl als Summe einer Primzahl und einer Zahl mit maximal K Primfaktoren geschrieben werden kann.
  • 1966 bewies Chen Jingrun, dass jede hinreichend große gerade Zahl als Summe einer Primzahl und einer Zahl geschrieben werden kann, die höchstens zwei Primfaktoren besitzt (Satz von Chen).
  • 1995 bewies Olivier Ramaré, dass jede gerade Zahl als Summe von sechs oder weniger Primzahlen geschrieben werden kann.
  • 2012 bewies Terence Tao, dass jede ungerade Zahl größer als 1 als Summe von fünf oder weniger Primzahlen dargestellt werden kann, und verbesserte damit das Resultat von Ramaré.

Die Primzahlzwillingsvermutung: Zwei Primzahlen p und q heißen Primzahlzwillinge, wenn sie einen Abstand von zwei haben (etwa 3 und 5, 5 und 7, 29 und 31 etc.). Es ist ein offenes Problem, ob es unendlich viele solcher Primzahlzwillingspaare gibt. Die Vermutungen tendieren aber zur Antwort „ja“.